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STATISTICA SOCIALE

• LE 8 FORMULE DA SAPERE A MEMORIA

1. 📊 MEDIA ARITMETICA

🎬 Cosa significa?

La media serve a trovare il valore che rappresenta, in modo sintetico, un insieme di dati.

Immagina 5 studenti con questi voti:

18, 20, 24, 26, 30

Vogliamo sapere qual è il voto medio.

Sommiamo tutti i voti e dividiamo per il numero degli studenti.

📌 Formula

xˉ=∑xi / N

Non spaventarti dalla formula. Significa semplicemente:

media = somma di tutti i valori ÷ numero dei valori

🔍 Simbolo per simbolo

🔢 Esempio

Dati:

18, 20, 24, 26, 30

Sommiamo:

18+20+24+26+30=118

Abbiamo 5 valori:

N=5

Quindi:

xˉ=1185

xˉ=23,6

La media è 23,6.

🧠 Trucco

Ricorda:

MEDIA = SOMMA ÷ NUMERO

Quando vedi:

xˉ

pensa immediatamente:

"Devo sommare e dividere."

⚠️ Errore tipico

Non devi dividere per il valore più grande.

❌ 118 ÷ 30

✅ 118 ÷ 5

2. 📏 VARIANZA

Questa è più difficile, ma è fondamentale.

🎬 Cosa significa?

La media ci dice dove si trova il centro.

La varianza ci dice:

quanto i dati sono sparsi intorno alla media.

Confrontiamo:

Gruppo A

4, 5, 5, 5, 6

I valori sono vicini alla media.

Gruppo B

1, 2, 5, 8, 9

I valori sono molto più sparsi.

Le due serie possono avere una media simile, ma la seconda ha una maggiore variabilità.

La varianza serve proprio a misurare questa dispersione.

📌 Formula

σ2=∑(xi−xˉ)2N

Questa formula va letta come una sequenza:

1. Trova la media

↓

2. Calcola quanto ogni valore si discosta dalla media

↓

3. Eleva gli scarti al quadrato

↓

4. Somma

↓

5. Dividi per N

🔍 Simbolo per simbolo

🔢 Esempio completo

Prendiamo:

2, 4, 6

Passo 1 — Media

xˉ=2+4+63=4

Passo 2 — Scarti dalla media

Passo 3 — Eleviamo al quadrato

(−2)2=4

02=0

22=4

Quindi:

4, 0, 4

Passo 4 — Sommiamo

4+0+4=8

Passo 5 — Dividiamo per N

σ2=83

σ2=2,67

🧠 Trucco

Memorizza questa frase:

SCARTO → QUADRATO → SOMMA → DIVIDI

È praticamente tutta la formula.

⚠️ Attenzione

Se stai lavorando su un campione, spesso la formula diventa:

s2=∑(xi−xˉ)2n−1

Quindi devi capire dal testo dell'esercizio se hai:

popolazione → N

campione → n−1

3. 📐 DEVIAZIONE STANDARD

🎬 Cosa significa?

La deviazione standard è strettamente collegata alla varianza.

La varianza ha un problema: viene espressa in unità al quadrato.

Per esempio, se stiamo misurando anni, la varianza sarebbe in:

anni2

Non è molto intuitivo.

Facciamo quindi la radice quadrata.

📌 Formula

σ=σ2

Quindi:

deviazione standard = radice quadrata della varianza

🔢 Esempio

Abbiamo trovato:

σ2=2,67

Facciamo la radice:

σ=2,67

σ≈1,63

🧠 Interpretazione

Se abbiamo:

xˉ=4

e:

σ=1,63

significa, in maniera intuitiva, che i dati presentano una dispersione attorno alla media dell'ordine di circa 1,63 unità.

🧠 Trucco

Ricorda:

VARIANZA = quadrato

DEVIAZIONE STANDARD = radice

Infatti:

σ2→ →σ

4. 📊 COEFFICIENTE DI VARIAZIONE

Questa formula serve soprattutto per confrontare la variabilità relativa.

🎬 Cosa significa?

Immagina due gruppi.

Gruppo A

Media = 10
Deviazione standard = 2

Gruppo B

Media = 100
Deviazione standard = 10

A prima vista il gruppo B ha una deviazione standard maggiore:

10>2

Ma è davvero più variabile?

Non necessariamente.

Per confrontarli utilizziamo il coefficiente di variazione.

📌 Formula

CV=σxˉ×100

In pratica:

deviazione standard ÷ media × 100

🔢 Esempio

Media:

xˉ=50

Deviazione standard:

σ=5

Quindi:

CV=550×100

CV=0,1×100

CV=10%

🧠 Interpretazione

Un CV del 10% significa che la deviazione standard rappresenta circa il 10% della media.

Più alto è il CV, maggiore è la variabilità relativa.

🧠 Trucco

Pensa:

CV = quanto è grande la deviazione rispetto alla media?

Quindi:

CV=DISPERSIONECENTRO×100

5. 📏 INTERVALLO INTERQUARTILE

🎬 Cosa significa?

Immagina di ordinare tutti i dati dal più piccolo al più grande.

Li dividiamo idealmente in quattro parti.

25%25%25%25%

I punti importanti sono:

Q1, Q2, Q3

dove:

Q1 = 25° percentile

Q2 = 50° percentile = mediana

Q3 = 75° percentile

L'intervallo interquartile misura la distanza tra Q1 e Q3.

📌 Formula

IQR=Q3−Q1

🔢 Esempio

Supponiamo:

Q1=20

Q3=35

Allora:

IQR=35−20

IQR=15

Quindi il 50% centrale dei dati è contenuto in un intervallo di ampiezza 15.

🧠 Perché è utile?

È meno influenzato dai valori estremi rispetto alla deviazione standard.

Per esempio, se una persona guadagna:

1.500€

e un'altra:

1.000.000€

quel valore enorme può influenzare molto la media.

L'IQR guarda invece la parte centrale della distribuzione.

🧠 Trucco

IQR=Q3−Q1

Pensa:

"Dal terzo quartile tolgo il primo."

6. 🔗 CORRELAZIONE

Questa è una delle formule più importanti.

🎬 Cosa significa?

Abbiamo due variabili.

Per esempio:

X = ore di studio

Y = voto all'esame

Ci chiediamo:

Quando aumentano le ore di studio, tende ad aumentare anche il voto?

La correlazione misura direzione e intensità della relazione lineare.

📌 Formula

r=Cov(X,Y)σXσY

🔍 Simbolo per simbolo

🔢 Esempio

Supponiamo:

Cov(X,Y)=6

σX=2

σY=3

Allora:

r=62×3

r=66

r=1

Abbiamo una correlazione perfettamente positiva.

📊 Come interpretare r?

🧠 Trucco

Ricorda:

Segno = direzione

+→insieme

−→opposti

Valore assoluto = forza

∣r∣→1

= relazione forte.

⚠️ ERRORE DA ESAME

Non dire:

"Se X e Y sono correlate, X causa Y."

❌ Sbagliato.

La correlazione non dimostra causalità.

7. 🎲 PROBABILITÀ CONDIZIONATA

Questa sembra difficile, ma il concetto è semplicissimo.

🎬 Cosa significa?

La parola fondamentale è:

SAPENDO CHE

Supponiamo di avere 100 studenti.

Vogliamo sapere:

Qual è la probabilità che uno studente superi l'esame sapendo che ha frequentato il corso?

Non consideriamo più tutti i 100 studenti.

Consideriamo solo quelli che hanno frequentato.

📌 Formula

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)

Si legge:

probabilità di A dato B.

🔍 Simboli

A = evento che ci interessa

B = condizione che sappiamo essere vera

A∩B = A e B contemporaneamente

P(A∣B) = probabilità di A sapendo B

🔢 Esempio

Abbiamo 20 studenti.

12 hanno frequentato.

Tra questi 12:

8 hanno superato l'esame.

La domanda è:

Qual è la probabilità di superare l'esame sapendo che si è frequentato?

Il nostro nuovo universo è:

12

Tra questi, i favorevoli sono:

8

Quindi:

P(Superato∣Frequentato)=812

=0,667

ovvero:

66,7%

🧠 TRUCCO FONDAMENTALE

Quando vedi:

P(A∣B)

pensa:

"DATO B, guardo solo B."

Quindi il denominatore sarà legato a B.

8. 🧮 CHI-QUADRATO χ2

Questa è probabilmente la formula che richiede più attenzione.

🎬 Cosa significa?

Supponiamo di voler capire se esiste una relazione tra:

genere

preferenza politica

Abbiamo una tabella:

La domanda è:

Le differenze che vediamo sono sufficientemente grandi da suggerire un'associazione tra le variabili?

Il chi-quadrato confronta:

ciò che abbiamo osservato

con

ciò che ci aspetteremmo se non ci fosse associazione.

📌 Formula

χ2=∑(O−E)2E

🔍 Simboli

🔢 Come troviamo la frequenza attesa?

Formula:

E=Totale riga×Totale colonnaTotale generale

Per la prima cella:

E=50×50100

E=25

Quindi:

osservato = 30

atteso = 25

Ora:

(30−25)225

=2525

=1

Facciamo la stessa cosa per tutte le celle e sommiamo.

🧠 Il significato profondo

Se:

O≈E

le differenze sono piccole.

Quindi:

χ2

sarà relativamente piccolo.

Se invece:

O≫E

o:

O≪E

le differenze sono grandi.

Quindi:

χ2

aumenta.

🧠 LE 8 FORMULE IN UNA SOLA MAPPA

Ora prova a non guardarle come 8 formule separate.

Pensale come una storia:

1️⃣ Voglio trovare il centro

xˉ=∑xiN

MEDIA

↓

2️⃣ Voglio sapere quanto sono sparsi i dati

σ2=∑(xi−xˉ)2N

VARIANZA

↓

3️⃣ Voglio riportare la dispersione all'unità originale

σ=σ2

DEVIAZIONE STANDARD

↓

4️⃣ Voglio confrontare la dispersione rispetto alla media

CV=σxˉ×100

COEFFICIENTE DI VARIAZIONE

↓

5️⃣ Voglio descrivere la parte centrale della distribuzione

IQR=Q3−Q1

INTERVALLO INTERQUARTILE

↓

6️⃣ Voglio capire se due variabili si muovono insieme

r=Cov(X,Y)σXσY

CORRELAZIONE

↓

7️⃣ Voglio calcolare una probabilità sapendo una condizione

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)

PROBABILITÀ CONDIZIONATA

↓

8️⃣ Voglio verificare se due variabili categoriali sono associate

χ2=∑(O−E)2E

CHI-QUADRATO

🎯 LA COSA PIÙ IMPORTANTE DA IMPARARE

Non memorizzare solo le formule. Per l'esame devi riuscire a riconoscere quando usarle.

La vera abilità all'esame è questa: leggere il testo dell'esercizio e capire quale formula scegliere prima ancora di iniziare a fare i calcoli.